Найти производную неявной функции
Дано уравнение: $e^{yx} = \ln(x^2 + y^2)$.
Необходимо найти производную этой функции.
Для решения задачи воспользуемся методом неявной дифференциации. Для этого продифференцируем обе части уравнения по $x$:
$$\frac{d}{dx}e^{yx} = \frac{d}{dx}\ln(x^2 + y^2)$$
Дифференцируя левую часть уравнения, воспользуемся цепным правилом, которое утверждает, что производная сложной функции равна произведению производной внешней функции на производную внутренней функции:
$$\frac{d}{dx}e^{yx} = \frac{d}{dy}(e^{yx}) \cdot \frac{dy}{dx}$$
Аналогично, дифференцируя правую часть уравнения:
$$\frac{d}{dx}\ln(x^2 + y^2) = \frac{d}{dx}(x^2 + y^2)^{-1} \cdot \frac{dy}{dx}$$
Теперь запишем найденные производные:
$$\frac{d}{dy}(e^{yx}) \cdot \frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(x^2 + y^2)^{-1} \cdot \frac{dy}{dx}$$
Обратимся к формуле для производной экспоненты:
$$\frac{d}{dy}(e^{yx}) = ye^{yx}$$
Продолжая упрощение, получаем:
$$ye^{yx} \cdot \frac{dy}{dx} = -(x^2 + y^2)^{-2}(x \cdot 2x + y \cdot 2y) \cdot \frac{dy}{dx}$$
Упростим выражение:
$$ye^{yx} \cdot \frac{dy}{dx} = -2(x^2 + y^2)(x^2 + y^2)^{-2} \cdot (x^2 + y^2) \cdot \frac{dy}{dx}$$
Домножим обе части уравнения на $(x^2 + y^2)^2$:
$$ye^{yx} \cdot (x^2 + y^2)^2 \cdot \frac{dy}{dx} = -2(x^2 + y^2) \cdot (x^2 + y^2) \cdot \frac{dy}{dx}$$
Исключим общие слагаемые из обеих частей:
$$ye^{yx} \cdot (x^2 + y^2) = -2(x^2 + y^2)$$
Делим на $(x^2 + y^2)$:
$$ye^{yx} = -2$$
Теперь выразим $\frac{dy}{dx}$:
$$\frac{dy}{dx} = \frac{-2}{ye^{yx}}$$
Таким образом, производная неявной функции $e^{yx} = \ln(x^2 + y^2)$ равна $\frac{dy}{dx} = \frac{-2}{ye^{yx}}$.